Блог учителя математики, креслення, інженерної графіки Маменко Юлії Володимирівни: Способи розв’язування квадратних рівнянь. Навчально-методичний посібник.

ДЕПАРТАМЕНТ ГУМАНІТАРНОЇ ПОЛІТИКИ ДНІПРОВСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

КОМУНАЛЬНИЙ ЗАКЛАД ОСВІТИ

"СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 1"

ДНІПРОВСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

Маменко Юлія Володимирівна,

учитель математики

Дніпро

2019

Маменко Ю.В. Способи розв’язування квадратних рівнянь. Навчально-методичний посібник. КЗО «Середня загальноосвітня школа №1» ДМР. -Дніпро, 2019

Посібник вміщує методичні рекомендації щодо розв’язування квадратних рівнянь на уроках алгебри. У посібнику розглядається історія виникнення квадратних рівнянь, види квадратних рівнянь, способи розв’язування квадратних рівнянь, розроблені рекомендації для мотивації учнів на уроці математики; навчальний проект за даною темою та структура плану розгорнутого уроку «Способи розв’язування квадратних рівнянь».

Рецензент-методист методичного центру Управління освіти департаменту гуманітарної політики Дніпровської міської ради Устінова Т.П.

Схвалено на засіданні шкільного методичного об’єднання від 03.01.2019 р.

Погоджено на засіданні методичної ради методичного центру Управління освіти департаменту гуманітарної політики Дніпровської міської ради №_____

Посібник розрахований на педагогічних працівників навчальних закладів, учнів 8 класів.

Зміст

Вступ……………………………………………………… …... 4

§1. Історія виникнення квадратних рівнянь.………………. 6

§2. Квадратні рівняння. Види квадратних рівнянь………… 9

§3. Неповні квадратні рівняння……………………………... 9

§4. Геометричний зміст квадратного рівняння…………….. 10

§5. Способи розв’язування квадратних рівнянь

5.1. Розв’язування квадратних рівнянь за формулою….. 11

5.2. Розв’язування рівнянь із використанням

теореми Вієта………………………………………….. 13

5.3. Розкладання лівої частини рівняння на множ-

ники………….......................................................…….. 13

5.4. Метод виділення повного квадрата………………… 13

5.5. Розв’язування рівнянь способом «перекидання»….. 14

5.6. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння…. 14

5.7. Графічне розв’язування квадратного рівняння…… 15

5.8. Розв’язування квадратних рівнянь за допомогою

циркуля і лінійки……………………………………. 16

5.9. Розв’язування квадратних рівнянь за допомогою

номограми……………………………………………. 17

5.10. Геометричний спосіб розв'язування квадратних

рівнянь….....…………………………………………. 17

§ 6. Із досвіду роботи

6.1. Мотивація навчальної діяльності та релаксація на

уроках математики……………………………… ….. 18

6.2. Навчальний проект «Квадратні рівняння»………… 26

6.3. Структура плану розгорнутого уроку за темою

«Способи розв’язування квадратних рівнянь»…… 32

Література…………………………………………………….. 47

Вступ

Реформування системи освіти України та впровадження основних положень концепції «Нова українська школа» сприяло оновленню змісту шкільних навчальних програм для середньої і старшої школи. Одним з ключових моментів нових програм є те, що під час навчання повинні бути реалізовані чотири наскрізні лінії, які послідовно розкриваються в процесі навчання учнів. Вони є загальними для всіх предметів і співвідносяться з ключовими компетентностями. Наскрізні змістові лінії урівноважують знаннєвий і компетентісний компоненти змісту освіти, вони є потужним інструментом для використання інноваційних методик навчання. У навчальних програмах з усіх предметів відокремлено наступні наскрізні змістові лінії:

В основу побудови змісту та організації процесу навчання математики покладено компетентнісний підхід, відповідно до якого кінцевим результатом навчання предмета є сформовані певні компетентності, як здатності учня застосовувати свої знання в навчальних і реальних життєвих ситуаціях, повноцінно брати участь в житті суспільства, нести відповідальність за свої дії.

Істотне місце у вивченні математики займають квадратні рівняння і текстові задачі, що зводяться до розв’язування квадратних рівнянь, основними функціями яких є розвиток логічного мислення учнів та ілюстрація практичного застосування математичних знань. Під час розв’язування прикладних задач учні також вчаться використовувати математичні моделі. Розв’язування таких задач супроводжує вивчення всіх тем, передбачених програмою.

Уміння розв’язувати квадратні рівняння є абсолютно необхідним, оскільки це базова тема шкільного курсу математики. Квадратні рівняння використовуються в галузі будівництва, машинобудування, суднобудування, для побудови летальних апаратів, в електротехніці, фізиці, хімії тощо.

Серед завдань часто зустрічаються такі, які ставлять за мету перевірити не стільки технічні навички, скільки уважність, уміння знайти раціональний шлях розв’язання, застосувавши при цьому нетрадиційний, оригінальний метод тощо. Тому на сьогоднішній день дуже важливо оволодіти різноманітними способами розв’язування рівнянь, які б не містили громіздких викладень, але за допомогою яких можна було б продемонструвати яскраві, ефективні, а інколи і несподівані застосування теоретичного матеріалу. Ці прийоми тісно пов’язані з матеріалом, що вивчається в середній школі, але, крім того, їх нестандартне розв’язання вчить не задовольнятися шаблонами, алгоритмами, а вдумливо підходити до пошуку оригінальних розв’язань. У підручниках з алгебри розглядаються тільки три способи розв’язування квадратних рівнянь, однак існують і інші прийоми, які дозволяють дуже швидко і раціонально знайти корені, тому я обрала тему «Способи розв’язування квадратних рівнянь».

Практичне застосування даного посібника полягає в можливості використання прийомів і способів розв’язування квадратних рівнянь на уроках математики та позаурочної діяльності, а також в ознайомленні учнів 8 - 9 класів з даним матеріалом.

"Мені доводиться ділити свій час між політикою та рівняннями. Проте рівняння по-моєму, набагато важливіше, тому що політика існує тільки для даного моменту, а рівняння будуть існувати вічно".

А. Ейнштейн.

§1. Історія виникнення квадратних рівнянь.

Алгебра виникла в зв'язку з рішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до н е. мешканці Вавілону. Знайдені стародавні вавилонські глиняні таблички, датовані десь між 1800 і 1600 роками до н.е., є найбільш ранніми свідоцтвами про вивчення квадратних рівнянь. На цих же табличках викладено методи вирішення деяких типів квадратних рівнянь. Правило рішення х²+х=³/і; х²-х=14,5 таких рівнянь, викладене в вавилонських текстах, збігається з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вони до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти надають тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття від’ємного числа і загальні методи розв’язування кватдратних рівнянь.

У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, які супроводжуються поясненнями і розв’язуються за допомогою складання рівнянь різних ступенів. При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в 499 р. У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого на ринках, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Часто вони були у віршованій формі. Ось одне із завдань відомого індійського математика 12 століття Бхаскари:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А 12 по лианам...

Стали прыгать повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Рішення Бхаскари свідчить про те, що він знав про двозначність коренів квадратних рівнянь: (х / 8)² + 12 =х.

Бхаскара пише під виглядом: х²- 64х =-768, і щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 322, отримуючи потім:

х²-64х+322=-768+1024
(х–32)²=256

х-32=±16
х₁ = 16, х₂ = 48.

На рубежі ХVІ-ХVII ст. алгебра як специфічна частина математики, що володіє своїм предметом і методом була вже сформована. Подальший її розвиток аж до нашого часу полягав в у вдосконаленні методів, розширенні області додатків, уточненні понять і їх зв'язків з поняттями інших розділів математики.

Формули для розв’язування квадратних рівнянь в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», яка була написана в 1202 році італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Ця книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але й у Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з цієї книги потрапили майже в усі європейські підручники ХІV-ХVII століть.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь виду х² + bх = с було сформовано в Європі лише в 1544 році Штіфелем. Висновок формули розв’язування квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні корені. Італійські математики Х століття, враховували, крім додатних, і відємні корені. Лише в ХVII столітті завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб вирішення квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Розв’язуванню квадратних рівнянь присвятив свої праці відомий український математик, професор Микола Чайковський (1887 - 1970). Він протягом багатьох років працював у вищих навчальних закладах Кам’янця Подільського, Львова, Одеси. М. Чайковський зробив вагомий внесок у створення української наукової терміно-логії з математики, а також брав активну участь у виданні українських підручників з математики. Кілька поколінь учителів математики та учнів набували досвіду й поглиблювали свої знання, користуючись чудовою книжкою «Квадратні рівняння» .

§2. Квадратні рівняння. Види квадратних рівнянь

Квадратним або рівнянням другого степеня з однією зміною називають рівняння виду ax² + bx + c = 0, де х – змінна, а, b, с – коефіцієнти квадратного рівняння, причому а ≠ 0.

Корінь такого рівняння – це значення змінної, що перетворює квадратний тричлен на нуль, тобто значення, яке перетворює квадратне рівняння на тотожність.

Коефіцієнти квадратного рівняння мають власні назви: коефіцієнт а називають першим або старшим, коефіцієнт b- другим або коефіцієнтом при х, коефіцієнт с - вільним членом цього рівняння.

Зведеним називають квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює одиниці. Таке рівняння може бути отримано діленням всього виразу на старший коефіцієнт а:

х² + pх + q = 0, p= b/а, q = с/а.

Якщо в квадратному рівнянні ax² + bx + c = 0 хоча б один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.

§ 3. Неповні квадратні рівняння

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: 1) ax² + c = 0, де с ≠ 0; 2) ax² + bx = 0, де b ≠ 0; 3) ax² = 0

Надалі розглянемо розв’язання повних квадратних рівнянь.

§ 4. Геометричний зміст квадратного рівняння.

Графіком функцій, яка представлена квадратним рівнянням є парабола. Розв’язки (корені) квадратного рівняння – це точки перетину параболи з віссю абсцис (Ох). З цього випливає, що є три можливі випадки:

1) парабола не має точок перетину з віссю абсцис. Це означає, що вона знаходиться у верхній площині з вітками вгору або нижній з вітками вниз. В таких випадках квадратне рівняння не має дійсних коренів (має два комплексні корені).
		2) Парабола має одну точку перетину з віссю Ох. Таку точку називають вершиною параболи, а квадратне рівняння в ній набуває свого мінімального або максимального значення. В цьому випадку квадратне рівняння має один дійсний корінь (або два однакових ко-рені).
		3) Останній випадок на практиці – існує дві точки перетину параболи з віссю абсцис. Це означає, що існує два дійсних кореня рівняння. На основі аналізу коефіцієнтів при сте-пенях змінних можна зробити цікаві виснов-ки про розміщення параболи:

1) Якщо коефіцієнт а більший нуля, то парабола направлена вітками вгору, якщо від'ємний - вітки параболи направлені вниз.

2)Якщо коефіцієнт b більший нуля то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо приймає від'ємне значення - в правій.

§5. Способи розв’язування квадратних рівнянь

5.1. Розв’язування квадратних рівнянь за формулою

Дискримінантом (дискримінант – discriminant, від лат. дискримінація) рівняння ах²+ bх +с = 0 називають вираз

D = b²- 4ac.

Якщо D > 0, рівняння ах²+bх+с=0 має два розв'язки, які знаходяться за формулами:

Якщо D = 0 рівняння ах²+ bх + с = 0 має один розв'язок (два рівні корені), який знаходиться за формулою

Якщо D<0 рівняння ах²+ bх + с = 0 не має жодного розв'язку.

Корені квадратного рівняння при парному b.

Для рівняння виду ax² + 2kx + 3 = 0, тобто при парному b, де k = b/2 для знаходження коренів можна використовувати еквівалентний вираз

Для зведеного квадратного рівняння ця формула набуває вигляду:

x _1,2 = - k

Також при парному b зручніше обчислювати значення НЕ цілого дискримінанту, а його чверті:

або, якщо рівняння зведене:

D/4 = k² - с.

Всі необхідні властивості при цьому зберігаються:

D/4 > 0 D > 0.

Аналогічно можна знайти формулу для знаходження єдиного кореня при D=0:

x = =

Зверніть увагу, що для зведеного рівняння можна спростити розрахунок наступним чином:

х = - k.

Звідси випливає важливе і корисне правило: коренем наведеного рівняння з парним другим коефіцієнтом і рівним нулю дискримінантом є половина другого коефіцієнта. Ці вирази є більш зручним для практичних обчислень при парному b.

5.2. Розв’язування рівнянь з використанням теореми Вієта

Розглянемо два корені квадратного рівняння х₁, х₂ та побудуємо на їх основі квадратне рівняння

З запису легко слідує сама теорема Вієта: якщо маємо квадратне рівняння вигляду

то сума його коренів рівна коефі-цієнту р, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів рівняння рівний вільному доданку q. Форму-лами сказане вище матиме такий запис:

5.3. Розкладання лівої частини рівняння на множники.

Нехай поставлено завдання: розкласти квадратне рівняння на множники. Для його виконання спочатку розв'язуємо рівняння (знаходимо корені). Далі, знайдені корені х₁ і х₂ підставляємо в формулу розкладу квадратного рівняння

На цьому завдання буде розв'язаним.

5.4. Метод виділення повного квадрата

Даним методом розв’яжемо рівняння х² + 4х - 21 = 0.

Виділимо в лівій частині повний квадрат. Для цього запи-шемо вираз х²+4х в наступному вигляді: х² + 4х = х² + 2 • х • 2.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а друге - подвоєний добуток х на 2. Тому, щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 22, так як

х² + 2 • х • 2 + 2² = (х + 2) ²

Перетворимо тепер ліву частину рівняння х² + 4х - 21 = 0, додаючи до неї і віднімаючи 2². Маємо:

х²+4х-21=х²+2•х•2+22-22-21=(х+2)²-4-21= =(х+2)² – 25, таким чином, дане рівняння можна записати так: (х+2)² -25=0, тобто (x + 2)² = 25. Отже, х + 2 = 5, x₁ = 3, або х ₂ = - 5, х² = - 7.

5.5. Розв’язування рівнянь способом «перекидання».

Метод «перекидання» пов’язує корені деяких квадратних рівнянь. Розглянемо за допомогою цього методу наступне рівняння:

2x²-9x-5=0;

у²-9у-5*2=0;

у²-9у-10=0;

За теоремою Вієта: у₁=-1; у₂=10.

Повернемось до початкового рівняння:

х₁=-1/2;

у₂=10/2=5.

Відповідь: -1/2; 5.

5.6. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

Інші цікаві властивості коефіцієнтів квадратного рівняння

Якщо a²x² + (a² + 1) x + a² = 0, то x₁ = - a, x₂ = -

Якщо a²x² - (a² + 1) x + a² = 0, то x₁ = a, x₂ =

Якщо a²x² + (a² - 1) x + a² = 0, то x₁ = - a, x₂ =

Якщо a²x² - (a² - 1) x + a² = 0, то x₁ = a, x₂ = -

Про квадрат різниці коренів квадратного рівняння

Для зведеного квадратного рівняння х²+рх+q=0 квадрат різниці коренів дорівнює дискримінанту

А для повного квадратного рівняння ax2+bx+c=0, де a≠0,

. 5.7. Графічне розв’язування квадратного рівняння

Якщо в рівнянні ax² + bx + c = 0 перенести другий і третій члени в другу частину, то одержимо ax² = - bx – c.

Побудуємо графіки y = ax² та y =- bx – c. Графік першої функції парабола, що проходить через початок координат, а другої – пряма.

Можливі такі випадки:

• пряма і парабола можуть перетинатися в двох точках, абсциси точок перетину є коренями квадратного рівняння (два корені);

• пряма і парабола можуть дотикатися в одній точці, абсциси точок перетину є коренем квадратного рівняння (один корінь);

• пряма і парабола не мають спільних точок, тобто квадратне рівняння не має коренів.

5.8. Розв’язування квадратних рівнянь за допомогою циркуля та лінійки.

Розв’яжемо рівняння

ax² + bx + c = 0.

Для цього необхідно:

1) Побудувати точки

S (-b : 2a; (a + c) : 2a) – центр кола і точку A (0,1);

2) Провести коло радіуса SA.

Абсциси точок перетину з віссю Ох є коренями вихідного рівняння.

При цьому можливі три випадки:

1) Радіус кола більше ординати центру

(AS>SK, або R> ), коло перетинає вісь Ох у двох точках. В (х₁; 0) і D (х₂; 0), де х₁ і х₂ – корені квадратного рівнян-ня ax² + bx + c = 0

2) Радіус кола дорівнює ординаті центру

(AS=SK, або R= ),

коло дотикається до осі Ох в точці В(х₁; 0), де х₁– корінь квадратного рівняння

3)Радіус кола менше ординати центру

(AS<SK, або R< ),

коло не має спільних точок з віссю абсцис, в цьому випадку рівняння не має коренів

5.9. Розв’язування квадратних рівнянь за допомогою номограми.

Це старий і несправедливо забутий спосіб вирішення квадратних рівнянь, поміщений на сторінці 83 Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». – М., Просвещение, 1990.

Таблиця XXII. Номограма для розв’язування  рівняння

z² + pz + q = 0.

Ця номограма дозволяє, не розв’язуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтами визначити корені рівняння.

Криволінійна шкала номограми побудована за формулами:

Вважаючи ОС=р, ED=q, ОЕ=а, з подібності трикутників САН і CDF отримаємо пропорцію

звідки після підстановок і спрощень випливає рівняння z²+pz+q=0, причому буква z - мітка будь-якої точки криволінійної шкали.

5.10. Геометричний спосіб розв'язування квадратних рівнянь.

Розвяжемо рівняння у²- 4у - 12=0

у²- 4у = 12.

«Зображено» вираз у²- 4у , тобто з площі квадрата зі стороною у двічі віднімається площа квадрата зі стороною 2. Отже, у²–4у+4 є площа квадрата зі стороною у-2.

Виконавши заміну у²-4у=12, отримаємо (у-2)² =12+4

у-2=4 або у-2=-4

у₁ =6 у₂ =-2

Відповідь: у₁ =6 , у₂ =-2

§6. Із досвіду роботи.

6.1. Мотивація навчальної діяльності та релаксація на уроках математики.

Уміє вчити той, хто вчить цікаво, хто викладає свій предмет так, щоб у душі учня зазвучали струни у відповідь і ні на хвилину не засинала його допитливість.

А. Ейнштейн

Сучасна українська школа розглядає кожну дитину не стільки як об’єкт. що потребує впливу, скільки як особистість, що інтенсивно розвивається в процесі навчальної діяльності. Реалізація цього неможлива без правильної мотивації навчання та розвитку інтересу до нього. Щоб учень займав активну позицію у процесі навчальної діяльності, треба його спонукати робити все з бажанням і задоволенням, а не примушувати, створювати такі умови, які б спонукали учня до активної пізнавальної діяльності.

Навчання математики має викликати в учнів якомога більше позитивних емоцій, а її зміст — бути націленим на виховання порядності, старанності, систематичності, послідовності, посидючості і чесності. Приклад вчителя покликаний зіграти важливу роль у формуванні толерантного ставлення до товаришів, незалежно від рівня навчальних досягнень.

У навчальних програмах з усіх предметів виокремлено наступні наскрізні змістові лінії:

- «Екологічна безпека та сталий розвиток»;

- «Громадянська відповідальність»;

- «Здоров'я і безпека»;

- «Підприємливість та фінансова грамотність».

Використання наскрізних змістових ліній на уроках математики має на меті актуалізувати набуті під час вивчення інших предметів знання та мотивувати для розв’язування практичних завдань математичного змісту.

Важливу роль у формуванні позитивного ставлення учнів до навчання відіграють як зміст матеріалу, так і його зв'язок з життям та практикою, вміння застосовувати раціональні прийоми під час своєї роботи, проблемний та емоційнийхарактер викладання, організація пошукової., дослідницької пізнавальної діяльності, що дає можливість учням переживати радість відкриття на уроці.

Створення ситуації успіху

Мотивація – це сукупність рушійних сил, що спонукають людину до виконання визначених дій.

Вступна бесіда

Мотивація

Створення проблемної ситуації

Мозкова атака

Творче завдання

Очікувані результати

Прикладна задача

Вступна бесіда

Ігрова ситуація

Навчання, позбавлене інтересу та взяте лише примусово, вбиває в учнях охоту вчитися, без якого вони далеко не підуть, а уміле використання мотивації допомагає розробляти способи досягнення максимальних ре-зультатів. Не менш вагомим етапом уроку є релаксація.

І сьогодні я хочу розповісти як це роблю я.

(із досвіду роботи)

Цікавими можна зробити навіть самі звичайні речі. Наприклад, назвіть коефіцієнти квадратного рівняння

15x²+2x+2019=0.

Вони і є датою уроку.

Або, якщо урок відбувся б, наприклад, 17 жовтня, можна заитати: «Хто перевіряє, чи щасливий його проїзний квиток в тролейбусі або трамваї?» І звернула б увагу, що сьогоднішня дата є щасливою перепусткою на цей урок.

Також можна цікаво зашифрувати тему уроку: у вигляді ребусу.

Для актуалізації опорних знань учнів терміни можна подати у вигляді анограми або «хмаринки» з зайвими словами

Домашнє завдання можна запропонувати виконати у вигляді запрошення на наступний урок, який легко буде перевірити за допомогою таблиці

Також на початку уроку, де говориться про дискримінант квадратного рівняння, можна сказати про соціальну проблему «дискримінація», і взяти за мету наприкінці уроку пов’язати ці терміни.

Також є цікавими такі прийоми, як «знайди помилку», «яке рівняння зайве?»,«порівняння» та ігрові моменти

Для виникнення в учнів їх власної мотивації важливо, щоб вони знали, яких результатів від них чекають, наприклад, «зашифровані істоти»

Іноді на уроці необхідно дати мозку відпочити. Для цього я використовую «хвилинки релаксації».

І, дійсно, найбільшою мотивацією є проведення соціально-проблемних тематичних уроків, де застосовані наскрізні змістовні лінії та інформування про очікувані кінцеві результати вивчення теми.

Важливе значення для мотивації позитивної навчальної діяльності на уроці та при виконанні домашніх завдань мають прикладні задачі. Розв’язуючи на уроках математики задачі прикладного характеру (економічні, екологічні, фізичні, хімічні, біологічні) та з інших наук і галузей господарства, ми не тільки показуємо важливість математики для науки та повсякденного життя, а й сприяємо появі інтересу до вивчення предмету, спонукаємо до активної навчальної діяльності. Під час розв’язування задач практичного змісту реалізуются наскрізні лінії ключових компетентностей.

Такі задачі мають відображати реальну ситуацію і містити пізнавальні відомості. Їх умови мають бути лаконічними з акцентом на математичний зміст і спосіб розв’язування.

Не можна не сказати про стимулююче оцінювання знань. Це, звичайно, накопичувальна система оцінювання. Я використовую кваліметричну таблицю оцінювання.

Я вірю медикам, що математика продовжує життя, надаючи можливість на довгі роки зберігати голову світлою, а людину працездатною. І моя задача мотивувати цим моїх учнів.

6.2. Навчальний проект «Квадратні рівняння».

«Людині, що вивчає алгебру, корисніше вирішити одну і ту ж задачу трьома різними способами, ніж вирішити три-чотири різні задачі. Розв'язуючи одну задачу різними методами, можна шляхом порівнянь з'ясувати, який з них коротше і ефективніше. Так набувається досвід»

У. Сойєр

Актуальність проекту:

Рівняння в шкільному курсі займають провідне місце. На їх вивчення відводиться більше часу, ніж на будь-яку іншу тему шкільного курсу математики. А вміння розв`язувати квадратні рівняння необхідне для всіх. Навчальний проект призначений для розширення знань про способи розв`язування квадратних рівнянь. Ці вміння необхідні не тільки на уроках математики, а й на уроках фізики, хімії, інформатики, економіки, тощо. Більшість практичних завдань реального світу теж зводиться до розв`язання квадратних рівнянь. Уміння швидко, раціонально і правильно розв`язувати квадратні рівняння полегшує проходження багатьох тем курсу математики. Під час роботи над роектом (розв’язування задач практичного змісту) реалізуются наскрізні лінії ключових компетентностей.

Тип проекту:

1. За провідною діяльністю: навчальний, практико-орієнтований – результат діяльності учасників чітко визначено з самого початку, він орієнтований на соціальні інтереси учасників.

2. За галуззю виконання: інтегрований. Основний предмет-алгебра, другорядні предмети-геометрія, фізика, історія, астрономія, основи здоров’я.

3. За складом учасників: учні одного класу.

4. За кількістю учасників: змішаного типу (індивідуальний, груповий, колективний).

5. За тривалістю виконання: середньої тривалості (протягом місяця).

Учасники проекту: учні 8-го класу.

Навчальні цілі:

-дати уявлення про квадратні рівняння та їх види;

-розглянути способи розв`язування квадратних рівнянь;

-сформувати навички розв’язування квадратних рівнянь, рівнянь, що зводяться до квадратних;

-дослідити застосування квадратних рівнянь в прикладних задачах;

-навчити знаходити, аналізувати, опрацьовувати, оцінювати та створювати інформацію в різних формах і на різних типах медіа-обладнання;

-сформувати вміння стисло, чітко, зручно, ефективно представляти результати роботи за допомогою математичних моделей, презентацій, публікації тощо, уміти ілюструвати ідеї, висновки, комбінуючи текст і зображення;

-удосконалити вміння збирати й обробляти інформацію, використовуючи різні форми опитування, ресурси Internet, уміння аргументовано доводити власну думку;

-розвинути логічне креативне мислення;

-розвинути комунікативні навички, застосовуючи чотири наскрізні змістовні лінії;

-розвинути навички публічного виступу.

Стислий опис проекту:

-Під час виконання проекту учні ознайомляться з історією вивчення квадратних рівнянь, із їх видами та способами розв`язання, геометричним змістом; розглянуть практичне застосування квадратних рівнянь для розв`язування задач, складуть та розв’яжуть прикладні задачі, створять презентації, публікації та представлять свої творчі наробки.

-Під час виконання проекту учні набудуть навички індивідуальної та групової роботи.

Етапи проекту:

• Дослідницька робота

• Теоретичний блок

• Розв’язання рівнянь

• Розв’язання прикладних задач

• Індивідуальна робота

• Групова робота

• Контроль знань

• Звіт

Зміст проекту:

Вступне слово вчителя.

1. Визначення квадратного рівняння, його види.

2. З історії квадратних рівнянь

2.1. Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

2.2. Діофантові квадратні рівняння

2.3. Квадратні рівняння в Індії

2.4. Квадратні рівняння у ал-Хорезмі

2.5. Квадратні рівняння в Європі XIII -. XVII ст

2.6. Дискримінант і дискримінація

3. Способи розв`язування квадратних рівнянь:

3.1. Розв`язування квадратних рівнянь за формулами.

3.2. Розв`язування квадратних рівнянь із використанням теореми Вієта.

3.3. Розв`язування рівнянь способом перекидання.

3.4. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

3.5. Розкладання лівої частині рівняння на множники.

3.6. Метод виділення повного квадрата.

3.7. Розв`язування квадратного рівняння графічним способом.

3.8. Розв`язування квадратних рівнянь за допомогою циркуля і лінійки.

3.9. Розв`язування квадратних рівнянь за допомогою номограми.

3.10. Геометричний спосіб розв`язування квадратних рівнянь.

4. Математичний тренажер. Квадратні рівняння.

5. Прикладні задачі.

6. Математичні цікавинки.

Напрямки реалізації проекту.

Учні об'єднуються в групи з урахуванням бажань, здібностей, способу мислення.

1. Група «Історики»

Завдання: підготувати доповідь\презентацію\усний журнал за темами:

1. Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

2. Діофантові квадратні рівняння

3. Квадратні рівняння в Індії

4. Квадратні рівняння у ал-Хорезмі

5. Квадратні рівняння в Європі XIII -. XVII ст

6. Дискримінант і дискримінація

2. Група «Теоретики»

Завдання: розглянути означення квадратного рівняння та види квадратних рівнянь.

3. Група «Дослідники»

Завдання: Розглянути способи розв`язування квадратних рівнянь:

1. Розв`язування квадратних рівнянь за формулами.

2. Розв`язування квадратних рівнянь із використанням теореми Вієта.

3. Розв`язування рівнянь способом перекидання.

4. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

5. Розкладання лівої частині рівняння на множники.

6. Метод виділення повного квадрата.

7. Розв`язування квадратного рівняння графічним способом.

8. Рішення квадратних рівнянь за допомогою циркуля і лінійки.

9. Розв`язування квадратних рівнянь за допомогою номограми.

10. Геометричний спосіб розв`язування квадратних рівнянь.

4. Група «Практики»

Завдання: підібрати рівняння, що розв`яуються одним із способів розв`язування квадратних рівнянь для математичного тренажеру. Скласти алгоритм розв`язування рівнянь.

5. Група «Пошуковці»

Завдання: підібрати задачі з курсу фізики, геометрії, астрономії, економіки, що розв`яуються за допомогою квадратних рівнянь. Скласти алгоритм розв`язування прикладних задач.

6. Група «Науковці»

Завдання: підібрати рівняння та задачі що розв`яуються за допомогою рівнянь, що зводяться до квадратних.

*Кожен учень може отримати додаткові бали, виконавши додаткове творче завдання (кросворд, ребус, вікторина тощо).

В ході виконання проекту групи змінюють склад: до кожної групи входить історик, теоретик, дослідник, практик, пошуковець, науковець.

Критерії оцінювання.

Кваліметрична модель оцінювання якості засвоєння навчального матеріалу.

Робота групи

Критерії	Вагомість критеріїв	Ступінь про-яву критеріїв (бали)	Сума (оцінка)
Дослідницька робота	0,1
Теоретичні знання	0,15
Складання завдань	0,15
Розв`язування завдань	0,2
Складання алгоритму	0,15
Творчі наробки	0,1
Звіт	0,15
ВСЬОГО	1

Кваліметрична модель оцінювання якості засвоєння навчального матеріалу

Індивідуальна робота

Критерії	Вагомість критеріїв	Ступінь прояву критеріїв (бали)	Сума (оцінка)
Теоретичні знання	0,15
Математичний тренажер	0,2
Складання завдань	0,1
Розв`язування задач	0,2
Творчі наробки	0,1
Внесок в колективну роботу	0,25
ВСЬОГО	1

Очікувані результати діяльності учасників.

· Узагальнення та систематизація знань учнів з теми «Квадратні рівняння».

· Розробка схем-опор з теми «Квадратні рівняння».

· Створення алгоритмів розв`язування квадратних рівнянь різними методами.

· Презентація «Квадратні рівняння».

· Розробка математичного тренажеру «Розв`язування квадратних рівнянь».

· Створення збірки прикладних задач.

· Поповнення відеотеки фільмами та презентаціями «З історії виникнення квадратних рівнянь».

· Розробка розділу «Квадратні рівняння» для можливості дистанційного вивчення.

6.3. Структура плану розгорнутого уроку за темою «Способи розв’язування квадратних рівнянь». Алгебра. 8 клас.

Тема уроку: Способи розв’язування квадратних рівнянь.

Мета уроку: Систематизувати знання, вміння і навички учнів стосовно видів квадратних рівнянь ; розглянути деякі способи розв’язування квадратних рівнянь, що не наведені в шкільних підручниках алгебри, перевірити набуті знання та вміння застосовувати їх під час розв’язування завдань; формувати вміння узагальнювати, робити висновки; розвивати логічне мислення та мовлення учнів; розвивати кому-нікативні навички учнів, ключові компетентності, застосовуючи наскрізну змістовну лінію «Громадянська відповідальність»; виховувати розу-міння значущості алгебри як науки серед інших наук.

Обладнання: мультимедійна презентація (додаток 1); роздатковий матеріал (додаток 2); «долоньки знань» (додаток 3); кваліметричні моделі оцінювання якості засвоєння навчального матеріалу (додаток 4); картки, розрізані на пазли для об’єднання учнів в групи (додаток 5); правила роботи в групах (додаток 6).

Вид уроку: вивчення нової теми.

Тип уроку: тренінг.

Орієнтовний план уроку.

№

Види робоіт

Час

Стартові завдання:

*привітання;

*вправа «Анограми»;

*постановка проблемного питання;

*перевірка домашнього завдання.

1 хв

2 хв

Актуалізація опорних знань:

*мозковий штурм;

*індивідуальна робота на дошці;

*тест;

*взаємоперевірка робіт.

2 хв

1 хв

Хвилинка релаксації.

1 хв

Вивчення нової теми:

*вступне слово вчителя;

*руханка «Знайди свою групу»;

*робота в групах;

*презентація групових робіт;

*вправа «Обмін досвідом».

1 хв

12 хв

4 хв

3 хв

Хвилинка релаксації.

1хв

Самостійна робота.

5хв

Вправи на повторення.

1хв

Підсумкові завдання:

*підведення підсумків уроку;

*зворотній зв'язок. Завершальна вправа «Долонька знань»;

*висновки.

1хв

3 хв

2 хв

Хід уроку

Супроводження на екрані

1.Стартові завдання.

Вступне слово вчителя. Добрий день та чудового настрою. Розпочати наш урок я хочу зі слів французького математика, фізика, філософа Блеза Паскаля: «Предмет мате-матики настільки серйозний, що корисно не упускати нагоди робити його більш цікавим». І сьогодні, я сподіваюсь, вам буде дуже цікаво на уроці.

І зараз вашій увазі декілька анограм .

(Вправа «Анограми»).

Розшифруйте їх.

• Наритімскидн

• Вірнянян

• Екоцінєтіф

• Ірокнь

Вірно! Яка тема об’єднує ці терміни?

Так, дійсно, мова йде про «Квадратні рівняння» - най-важливішу і найцікавішу тему з усіх розділів математики. Особ-лива значимість цієї теми полягає в широкому застосуванні рівнянь в нарізноманітніших галузях засто-сування математики.

Розглянемо рівняння на слайді. Чи є квадратним дане рівняння? Назвіть його коефіцієнти. Яка асоціація виникає? (Коефіцієнтами взяти числа дати уроку, наприклад 17, 4, 2019).

Вірно! Це дата проведення нашого уроку. Відкрийте зошити, запишіть число і тему уроку.

Способи розв’язування деяких видів квадратних рівнянь з числовими коефіцієнтами були відомі ще за 1500 років до н.е. У творі «Начала» давньогрецького математика Евкліда разом з геометричним матеріалом містяться і задачі на квадратні рівняння, зокрема розв’язання задачі про «золотий переріз».

І сьогодні на уроці ми з вами розглянемо деякі способи розв’язу-вання квадратних рівнянь, що не наведені в шкільних підручниках алгебри, перевіримо набуті знання та вміння застосовувати їх під час розв’язування завдань. Ми пригадаємо те, що знаємо і поповнимо свої знання новим матеріалом та спробуємо допомогти хорошій людині.

*Проблемне питання

Діти, сьогодні мій сусід потребує вашої допомоги. Йому треба закупити паркан для земельної ділянки, але він знає тільки, що площа ділянки 1200 м², довжина доріжки, що прокладена по діагоналі-50 м, а погонний метр паркану коштує 107 грн. Чи вистачить йому 15000 грн., щоб здійснити свої плани? (При об’єднанні учнів в групи, кожна група отримує задачу з алгоритмом розв’язування. Діти, що впораються з груповим завданням раніше, мають можливість попрацювати над цим попереджальним завданням за алгоритмом і отримати додаткові 2 бали)

*Перевірка домашнього завдання.

А почнемо з перевірки домаш-нього завдання. На минулому уро-ці ви отримали запрошення на сто-гонішній урок, в якому потрібно було заповнити порожні клітинки.

А тепер давайте перевіримо правильність його виконання:

-Які стовпчики можна вважати контролюючими?

-Яку теорему застосовуємо? Перевірте себе.

Перевірте себе.

-Все вірно-6 б;

-1-3пом.-5 б.;

-4-7пом.-4 б;

-8-10пом.-3б;

-11-15пом.-2б;

-16-20пом.-1б.;

-≥21пом.-0б.

Внесіть результати до кваліметричної таблиці.

(Протягом уроку учні заповнюють кваліметричну таблицю, за результатами якої в кінці уроку буде розрахований індивідуальний рівень досягнень на даному уроці).

2. Актуалізація опорних знань.

*4 учні запрошуються до дошки для виконання індивідуального завдання:

1)2x²-5x+3=0;

2)3x²+4x+1=0;

3)2x²-9x-5=0;

4)x²+3x-4=0.

*Мозковий штурм.

1. Яке рівняння називається квадратним?

2. Які є види квадратних рівнянь?

3. Назвіть коефіцієнти в рівняннях:

5х²-0,3х+1=0;

-х²-2,9=0.

4. Як обчислюється дискримінант?

5. Що показує дискримінант?

Я хочу зауважити, що слово «дискримінант» є однокореневим з латинським словом «дискримінація».

ДИСКРИМІНАЦІЯ (лат., від розрізняю, роз-діляю). Обмеження або позбавлення прав певної категорії громадян. Так саме і ДИСКРИМІНАНТ обмежує або позбавляє квадратне рівняння дійсних коренів.

А зараз перевіримо наші знання за допомогою тесту:

1. Яке з рівнянь не є квадратним?
а)6х²+7х-6=0;
б)2х²-7=0;
в)10+2х²=0;
г)2х³-7=0.

2. Яке з рівнянь є неповним квадратним?
а)3х²-8х+15=0;
б)2х²-7=0;
в)5х²-8х+3=0 ;
г)2х-5=0.

3. Вкажіть корені неповного квадратного рівняння: х²-9=0

а) -3 ; 3:

б)3 ; 6;

в)немає коренів ;

г)0.

4. Яке рівняння не має коренів:

а) 2х²+8=0;

б) х² -3х=0;

в) х² =16;

г) х²-2х=0.

5. Укажіть дискримінант даного квадратного рівняння 6х²+3х-1=0

а)44; б)33;

в)0; г)-15.

6.Укажіть число коренів квадратного рівняння х² -3х+3=0

а) два різні корені;

б) два рівні корені;

в) немає коренів;

г) чотири корені.

*А зараз поміняйтеся зошитами. Зробимо взаємоперевірку:

1. г); 2. г); 3. а); 4. а); 5. б ); 6. в).

Занесіть власний результат у кваліметричну таблицю.

*Хвилинка релаксації

А зараз трішки переключимо увагу. Перевіримо, на що здатен наш розум. Читайте текст до кінця, не звертаючи уваги на те, що він виглядає дивно.

4. Вивчення нової теми.

Квадратні рівняння-це фундамент, на якому будується величава споруда алгебри. Квадратні рівняння використовуються в галузі будівництва, машинобудування, суднобудування, для побудови летальних апаратів, в електротехніці, тощо…

Правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до виду ах² + bх =с, де а > 0, сформулював індійський вчений Брахмагупта (VII ст.).

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до виду х² + bх = с, сформулював німецький математик М. Штіфель (1487—1567).

Виводом формули розв'язування квадратних рівнянь загального виду займався Вієт.

Після праць нідерландського математика А. Жірара (1595—1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

В ваших підручниках розглянуті формули знаходження коренів квадратних рівнянь, за допомогою яких можна розв’язувати будь-які квадратні рівняння. Але є і інші способи, які дозволяють дуже швидко і раціонально розв’язувати квадратні рівняння.

Сьогодні ми розглянемо їх.

Розв’язування рівнянь.

Повернемось до рівнянь, що розв’язували учні на дошці. Та перевіримо їх, використовуючи нові способи. Я прошу вас об’єднатися в групи (на початку уроку учні беруть частину пазлу, склавши який мають можливість знайти свою групу).

Руханка «Знайди свою групу».

А зараз давайте пригадаємо правила роботи в групах:

-Повага до іншого;

-Правило піднятої руки;

-Кожна думка має автора;

-Активна участь у роботі;

-«Тут і зараз»;

-Слухаємо і чуємо;

-Толерантність.

Група 1. Розглянемо перше рівняння та суму його коефіцієнтів, розв’яжемо рівняння, використовуючи теорему:

2x²-5x+3=0;

2-5+3=0;

х₁=1; х₂=3/2.

Відповідь: 1; 3/2.

Група 2. Розглянемо друге рівняння та порівняємо суму його старшого коефіцієнта та вільного члена з другим коефіцієнтом, розв’яжемо рівняння, використовуючи теорему:

3x²+4x+1=0;

3+1=4;

х₁=-1; х₂=-1/4

Відповідь: -1; -1/4.

Група 3. Метод «перекидання» пов’язує корені деяких квадратних рівнянь. Розглянемо за допомогою цього методу наступне рівняння:

2x²-9x-5=0;

у²-9у-5*2=0;

у²-9у-10=0;

За теоремою Вієта: у₁=-1; у₂=10.

Повернемось до початкового рівняння:

х₁=-1/2;

у₂=10/2=5.

Відповідь: -1/2; 5.

Група 4. *2 учні за випереджальним завданням на четвертому прикладі демонструють членам групи приклад графічного розв’язання квадратного рівняння та пояснюють суть графічного методу.

*Представники кожної групи демонструють свій метод та аргументують його зручність у використанні.

Завдання: Розв’яжіть усно рівняння.

-який спосіб розв’язання квадратних рівнянь застосовуємо?

Вправа «Обмін досвідом».

Кожна група складає три рівняння, що можна розв’язати, використовуючи властивості коефіцієнтів, метод «перекидання старшого коефіцієнту» (представник групи перевіряє знання членів іншої групи).

Також члени груп обмінюються думками щодо розв’язання проблемного питання.

Проаналізуйте індивідуальний внесок кожного в роботу групи; оцініть роботу від 0 до 6 балів, результати занесіть в кваліметричну таблицю.

5.Хвилинка релаксації

Великим та вказівним пальцями м’яко відтягуйте назад і притискуйте, масуючи, раковини вух.

НАВЧАЛЬНІ ІНСТРУКЦІЇ

• Держіть голову прямо, щоб підборіддю було зручно.

• Вправу повторюйте п’ять або більше разів.

6. Самостійна робота.

1 варіант

2 варіант

Розв’язати за властивостями коефіцієнтів:

А:3x²-4x+1=0;

В:2x²+5x+3=0;

А:4x²-5x+1=0;

В:3x²+5x+2=0;

Розв’язати методом “перекидання”

С: 2x²+3x-2=0.

С: 3x²-4x-7=0.

Самоперевірка.

1 варіант	2 варіант
А: ⅓; 1. В: -1,5 ;-1. С: -2; ½.	А: ¼; 1. В: -1; -⅔. С: -1; 2 ⅓.

Кожне завдання-2 б.

Запишіть результат в кваліметричну таблицю.

7. Повторення.

Вивчаючи навколишній світ, ми часто помічаємо залежності між різними явищами та процесами. Необхідність вивчення на практиці залежностей різної природи привела до поняття функції в математиці.

З якими функціями виникають асоціації (див. слайди)?

Назвіть область визначення і область значення функцій.

З якими з цих функцій ми працювали сьогодні на уроці?

8. Підсумкові завдання.

* Узагальнення знань. Вправа «Відкритий мікрофон».

-У яких випадках застосовують теорему Вієта?

-У яких випадках застосовують властивості

коефіцієнтів?

-Для чого застосовують графічний спосіб розв’язування квадратних рівнянь?

-Як можна розв’язати будь-яке квадратне рівняння?

-*Що ми можемо передати моєму сусіду? (Діти, які розв’язали прикладну задачу, презентують її).

*Завершальна вправа «Долонька знань»;

Учням роз-дається кон-тур «Долонь-ки знань». На пальцях вони повинні напи-сати способи розв’язування квадратних рівнянь. Якщо спосіб викликає питання, учень ставить біля нього сумний смайлик. Долоньки розташовуються на дошці очікувань, учитель може зробити висновки, наскільки учні усвідомили матеріал уроку.

* Домашнє завдання.

• Вивчити нові способи розв’язування квадратних рівнянь.

• Розв’язати кожне рівняння двома способами

А:6x²-7x+1=0;

В:2x²+5x+3=0;

С: 6x²-11x+5=0.

* Підведення підсумків уроку.

Заключне слово вчителя. Висновки:

*дані прийоми заслуговують на увагу, оскільки вони не всі відображені в шкільних підручниках математики;

*оволодіння цими прийомами допоможе вам економити час і ефективно розв'язувати рівняння;

*потреба у швидкому вирішенні обумовлена застосуванням тестової системи вступних іспитів.

І закінчити наш урок я хочу словами У.Сойєра: «Людині, що вивчає алгебру, корисніше вирішити одну і ту ж задачу трьома різними способами, ніж вирішити три-чотири різні задачі. Розв'язуючи одну задачу різними методами, можна шляхом порівнянь з'ясувати, який з них коротше і ефективніше. Так набу-вається досвід». Дякую за увагу!

Література.

1. Збірник задач з математики. 5-9 класи : Наскрізні лінії компетентностей та їх реалізація / Д. В. Васильєва, H. I. Василюк. – К. : Видавничий дім «Освіта», 2017.

2. Брадис В.М.Чотиризначні математичні таблиці для середньої школи.Вид. 57-ме. - М., Просвітництво, 1990. З. 83.

3. Експериментальний навчальний посібник для 8 класу шкіл з поглибленим вивченням математики. За редакцією В.Г.Коваленка, В.Я.Кривамеєва, Л.Я.Лемберського. – Київ: “Освіта”, 1995 р.

4. Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра. Підручник для 8 класу. За редакцією З.Слєпкань. – Тернопіль: “Підручники і посібники”, 2005 р.

5. Кружепов О.К., Рубанов О.Т. Збірник задач з алгебри елементарних функцій. Навчальний посібник для середніх спеціальних навчальних закладів. - М., вища школа, 1969.

6. Алімов.Ш.А., Ільїн В.А. та інших.Алгебра, 6-8. Пробний підручник для 6-8 класової середньої школи. - М., Просвітництво, 1981

7. Окунев О.К.Квадратичні функції, рівняння і нерівності. Посібник для вчителя. - М., Просвітництво, 1972.

8. Соломник В.С.,Милов П.І. Збірник запитань і завдань із математиці. Вид. - 4-те,дополн. - М., Вищу школу, 1973.

9. Худобин А.І. Збірник завдань із алгебри та елементарних функцій. Посібник для вчителя. Вид. 2-ге. - М., Просвітництво, 1970.

10. Практикум з розв’язування задач з математики. За редакцією В.І.Михайлівського. – Київ: “Вища школа”, 1989 р.

Способи розв’язування квадратних рівнянь. Навчально-методичний посібник.

1 коментар: